一般的,在一個變化過程中,假設有兩個變數x、y,如果對於任意一個x都有唯一確定的一個y和它對應,那麼就稱y是x的函式,其中x是自變數,y是因變數,x的取值範圍叫做這個函式的定義域,相應y的取值範圍叫做函式的值域。下面小編給大家分享一些高中數學函式知識點,希望能夠幫助大家,歡迎閱讀!
高中數學函式知識
一、一次函式定義與定義式:
自變數x和因變數y有如下關係:
y=kx+b
則此時稱y是x的一次函式。
特別地,當b=0時,y是x的正比例函式。
即:y=kx(k為常數,k≠0)
二、一次函式的性質:
1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k
即:y=kx+b(k為任意不為零的實數b取任何實數)
2.當x=0時,b為函式在y軸上的截距。
三、一次函式的影象及性質:
1.作法與圖形:通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線,可以作出一次函式的影象——一條直線。因此,作一次函式的影象只需知道2點,並連成直線即可。(通常找函式影象與x軸和y軸的交點)
2.性質:(1)在一次函式上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。
(2)一次函式與y軸交點的座標總是(0,b),與x軸總是交於(-b/k,0)正比例函式的影象總是過原點。3.k,b與函式影象所在象限:
當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;
當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。
當b>0時,直線必通過一、二象限;
當b=0時,直線通過原點
當b<0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函式的影象。
這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。
四、確定一次函式的表示式:
已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函式的表示式。
(1)設一次函式的表示式(也叫解析式)為y=kx+b。
(2)因為在一次函式上的任意一點P(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最後得到一次函式的表示式。
五、一次函式在生活中的應用:
1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函式。
s=vt。2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函式。
設水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式:
1.求函式影象的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2
3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2
4.求任意線段的長:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根號下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)
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二次函式
I.定義與定義表示式
一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:
y=ax’2+bx+c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函式。
二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函式的三種表示式
一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限於與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
III.二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x’2的影象,
可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。
對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,座標為
P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b’2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
Δ=b’2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b’2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ=b’2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
V.二次函式與一元二次方程
特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax’2+bx+c,
當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax’2+bx+c=0
此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
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反比例函式
形如y=k/x(k為常數且k≠0)的函式,叫做反比例函式。
自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函式影象性質:
反比例函式的影象為雙曲線。
由於反比例函式屬於奇函式,有f(-x)=-f(x),影象關於原點對稱。
另外,從反比例函式的解析式可以得出,在反比例函式的影象上任取一點,向兩個座標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。
如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函式影象。
當K>0時,反比例函式影象經過一,三象限,是減函式
當K<0時,反比例函式影象經過二,四象限,是增函式
反比例函式影象只能無限趨向於座標軸,無法和座標軸相交。
知識點:
1.過反比例函式圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段,這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對於雙曲線y=k/x,若在分母上加減任意一個實數(即y=k/(x±m)m為常數),就相當於將雙曲線圖象向左或右平移一個單位。
(加一個數時向左平移,減一個數時向右平移)對數函式
對數函式的一般形式為,它實際上就是指數函式的反函式。因此指數函式裡對於a的規定,同樣適用於對數函式。
右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形:
可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函式。
(1)對數函式的定義域為大於0的實數集合。
(2)對數函式的值域為全部實數集合。
(3)函式總是通過(1,0)這點。
(4)a大於1時,為單調遞增函式,並且上凸;a小於1大於0時,函式為單調遞減函式,並且下凹。
(5)顯然對數函式無界。